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关键词:三角形冲孔网 标题:三角形重心坐标 那里有卖冲孔板 来源:知乎那里有卖冲孔板 文章内容: 三角形重心坐标 P用A，B，C来表示 对于三角形内的任意一点P 其实学过向量的就能想到, 线性相关。 可以写成: 这个式子我们可以拆开： 得到： 这也是P的表示，其中 . 来取特殊一点的 u，v 可以得到 A, B, C. 这个式子长的很像 AB 上任意一点D的计算： 也就是线性插值 计算 当然也可以把ABC看成坐标系，始于A点，基为： 和 。所以这个叫做重心坐标系（barycentric，bary- 重的）也能得到式子： 继续写： 考虑二维三角形，拆一拆： 甚至我们还可以把它写成矩阵形式： 实际上我们都可以看做是我们在寻找向量 (u, v, 1) 同时垂直于向量 和向量 。那里有卖冲孔板 这不就是叉乘么？ 同时这给了我们一个有了P点，求 u 和 v 的思路。 xvector = (B_x - A_x, C_x - A_x, A_x - P_x) yvector = (B_y - A_y, C_y - A_y, A_y - P_y) u = xvector x yvector # 因为我们讨论的是二维的三角形，如果 u 的 z 分量不等于1则说明P点不在三角形内 编码 然后我们来代码阶段，因为我们的计算中涉及到浮点数，可能u的z分量不会一定等于1.0, 令 u 的三个分量是 (a, b, c),我们代入原式子： 看C++代码： Vec3f barycentric(Vec2f A, Vec2f B, Vec2f C, Vec2f P) { Vec3f s[2]; for (int i=2; i--; ) { s[i][0] = C[i]-A[i]; s[i][1] = B[i]-A[i]; s[i][2] = A[i]-P[i]; } Vec3f u = cross(s[0], s[1]); if (std::abs(u[2])>1e-2) // dont forget that u[2] is integer. If it is zero then triangle ABC is degenerate return Vec3f(1.f-(u.x+u.y)/u.z, u.y/u.z, u.x/u.z); return Vec3f(-1,1,1); // in this case generate negative coordinates, it will be thrown away by the rasterizator } 整个Python的： def barycentric(A, B, C, P): """ A, B, C, P: Vector3, points return u: Vector3, barycentric coordinate of P """ s1 = Vector3(B.x - A.x, C.x - A.x, A.x - P.x) s2 = Vector3(B.y - A.y, C.y - A.y, A.y - P.y) u = s1.cross(s2) if abs(u.z) > EPSILON: # means this works, we have the P inside triangle return Vector3(1-(u.x+u.y)/u.z, u.x/u.z, u.y/u.z) return Vector3(-1,1,1) 应用 重心坐标在CG中的应用可以有以下： 填充三角形 之前我也想过这个问题，因为我们生成图像，归根结底是在于画像素点，那么如果我们要填充一个三角形，对于一个一个的像素点，我们只需要放到上述函数里面去，就可以判断P是否在三角形内，如果在三角形内，我们就去画它。这样填一个三角形的算法可以就是O(image.width * image.height),我们甚至可以进一步降低复杂度，对于一个三角形来说，我们可以由它的bounding box, 只需要检测它的bounding box里面的点，然后就可以用来填充。 z-buffer 其实这里也不止于 z-buffer,我们已经把P点表示成了A，B，C的线性组合形式，那么对于P点的z，我们也可以这样来看，我们把P点z值也可以看成A，B，C的线性组合，其实不仅仅是P点的z，对于P点的任意性质，只要是我们觉得可以用线性组合来看的，我们都可以用这个坐标系统。那里有卖冲孔板