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冲孔板复合网关键词:三角形冲孔网 标题:初中几何：冲孔板复合网三角形三条高交于同一点的证明及其思路 来源:知乎 文章内容: 通过研究三角形三条高交于一点，理解一些思路，方法有助于解决中考压轴证明题。 三角形三条高交于同一点： 思路： 1， 假设有三条高 — 三条从顶点垂直于对边的直线。那么我要证明其交于同一点。 a) 证明交于一点—也就是证明两条高的交点在第三条高上。 b) 反证法：如果不是交于一点，那么就会有三个不同交点 — 证明三个点之间的距离为0，就能推出三条高交于一点。 2， 此命题等价于：有两条高的交点，连接顶点和和两条高交点的直线交第三边的线段为高 — 要证明此直线和对应边垂直。 3， 假如有比较方便的，已经证明的结论，通过图形转化，转为证明一个容易的已知的命题。 几种主要方法： 1， 纯几何方法：证明三条高交于同一点，反证法，完全依靠相似证明，通过线段比值，证明三个交点距离为0，其实是同一点。 2， 纯几何方法：证明两条高的交点和顶点的连线垂直于第三边冲孔板复合网。借助四点共圆—是有两个RT三角形的四点共圆，那么此圆的圆心位置在斜边的中点，在辅助圆里面其圆周角相等。 3， 建坐标系：证明三条高交于同一点，以一条底边为X轴，此边上的高为Y轴，证明另外两个顶点的高的交点在Y轴上。 4， 向量：证明两条高的交点和顶点的连线垂直于第三边。通过向量的垂直 – 内积（点乘）为0，证明顶点到高交点的向量垂直于顶点对应边的向量。 5， 等价代换：替换成证明中垂线交于一点。--如何做一个三角形的中垂线的交点正好是原三角形的高的交点，证明三角形三条中垂线交于一点。 一，直接相似证明， 反证法。 如同ΔABC里面，AD，BE，CF分别是对应A，B，C三个顶点与其对边上的高。 冲孔板复合网我假设其交于三个点G，H，I（由于实际中如果AD，BE，CF分别垂直BC，AC，AB，那么交点为同一个，这里实际上CF不是垂直于AB的） 则我们可以得到很多个相似图形： - 公用顶角∠ACB ，得到 ΔCBE相似于ΔCAD - 公用顶角∠FCB ，得到ΔCGD相似于ΔCBF - 公用顶角∠FCA， 得到 ΔCIE相似于ΔCAF - 其他相似在此不赘述 如同开始所说，我希望证明的是三个点重合 等价于GH，HI，GI都等于0 等价于FI=FG或者CI-CG，BH=BI或者EH=EI，AG=AH或者GD=DH 我们知道如果ΔABC相似于ΔEFG。那么有对应边成比例 AB/EF=BC/FG 等价于AB*FG=BC*EF 回到刚才列出的三对相似三角形。可以想到： - CD*BC=CE*AC（ΔCBE相似于ΔCAD） - CG*CF=CD*BC（ΔCGD相似于ΔCBF） - CI*CF=CE*AC （ΔCIE相似于ΔCAF） 那么可以得到CI*CF=CG*CF，CI=CG，则I点和G点重合。 同理可得，I和H重合，G和H重合。 三条高交于同一直线得证。 讲道理，这种方法虽然要求的知识点很少，但实际操作下来难度是*高的，里面有很多三角形相似，很容易看花眼，而通过某个顶角引出的三对三角形相似，继而通过恒等式代换得到两线段长度一样难度是蛮大的。 二，四点共圆，正面证明，先做两条高，再连接顶点和交点—要证明此直线和对应边垂直。 如同ΔABC里面，AD，BE分别是对应A，B两个顶点与其对边上的高。 连接CH，交AB直线于F点。需要证明CF垂直于AB。 如此作图，只能得到ΔAHE相似于ΔACD，ΔBHD相似于BCE。 同时这两对相似似乎没什么用。 而CF垂直于AB，等价于ΔAFC或者BFC以AFC或者BFC为直角的直角三角形。 也就等价于ΔBFC相似于ΔBDA。 需要证明∠BAD等于∠FCB （通过证明∠ABE等于∠FCA也是一样，不重复了） 与此同时，我们可以观察到有两对直角三角形公用斜边。 RTΔAEB和RTΔADB共用AB斜边。-- 可以做圆G以AB中点G为圆心，1/2AB为半径做圆。 RTΔCHE和RTΔCHD共用斜边HC。--可以做圆I以CH中点I为圆心，1/2HC为半径做圆。 则圆G中：弧BD所对的圆周角∠BAH=∠BED 圆I中：弧HD所对圆周角∠HED=∠HCD 则∠BAD=∠FCB 因为∠ABD=∠FBC ΔBAD相似于ΔBCF ∠CFB=∠ADB=90° 命题得证 此方法的主要难点在于找到两对共用斜边的直角三角形。四点共圆，而且圆心在斜边中点上。 三，建坐标系，证明交于一点—也就是证明两条高的交点在第三条高上 以AC为x轴，AC边上高为y轴。 通过求出直线AD和CF的交点位置（在y轴上） 具体：建坐标系 以AC为x轴，AC边上高为y轴。 通过求出直线AD和CF的交点位置，证明其在y轴上 设三个点：A(-a,0）B(0,b) C(0,c) AD是过A点，和BC垂直。 CF是过C点冲孔板复合网，和AB垂直。 AD和CF相交于G点。 那么命题就转化成求AD和CF直线的交点在Y轴上了。 根据直线相互垂直斜率乘积等于-1 则直线AD： 直线CF： 式1和式2相等的解对应坐标值，既为交点。 显然因为b不为0，且c不等于-a。 （如果c=-a，A点和C点重合，三角形不成立） 两直线的交点在x=0的时候，在Y轴上。 此方法实际要求的难度是*小的，重点在于合理的建立直角坐标系。 PS：也可以尝试证明一条高和Y轴交点，此交点和另一个顶点的连线垂直于对应斜边。步骤略烦。 四， 向量法：证明两条高的交点和顶点的连线垂直于第三边。通过向量的垂直 – 内积（点乘）为0，证明顶点到高交点的向量垂直于顶点对应边的向量。 如图所示，已知ΔABC，AF垂直BC，BE垂直AC。AF，BE相交于D点。需要证明CD垂直于AB。 向量证明的一般套路为通过向量的加减，将一个向量分成几段相互向量和，特别是几段向量之间有确定的角度关系的。（因为向量内积有降次的含义，需要在同一方向的向量方便做内积） 而这里，*特殊的点就是D点，其他任意向量都可以有通过D点的几个向量加减得到，题目等价于， 附加已知条件为： 其中 式1-式2= 式3得证，也就是垂直成立。 此方法关键在于把所有向量都用通过点D的向量和来表示。 五，等价转化证明，替换成证明中垂线交于一点。--如何做一个三角形的中垂线的交点正好是原三角形的高的交点，证明三角形三条中垂线交于一点。 在中学平面几何里面，我们学到过三角形有4个心。 a) 垂心，三角形三条高的交点。 b) 重心，三角形三条中线的交点。 c) 外心，三角形三条边的中垂线的交点。也是三角形外接圆的圆心。 d) 内心，三角形三条角平分线的交点。也是三角形内切圆的圆心。 显然，在这里面*接近于三条高交点的是外心。 （外心的证明较为简单，通过两对直角三角形HL证明斜边一样长，证明交点和另一边中点的连线是垂直平分线。） 那么此问题就有两种思路： 通过将高的交点换成另一个三角形中垂线的交点。 2. 已知一个三角形及其中垂线，做出一个三角形，使得中垂线的交点正好是新三角形的高的交点。 （下面我以第二种为例） 如图，已知三角形HIJ，CF，BE，AD分别是三条中垂线。已经证明三条中垂线交于G点，G点为其外接圆圆心。 求证：以三条边的中点ABC做三角形，CF，BE，AD为三角形ABC的三条高。 过程如下： 因为A点是JH中点，C点是JI中点，所以AC平行于HI。 又因为HI冲孔板复合网垂直BE。 所以BE垂直AC。也就是BE是AC边上的高。 同理证明其他两条高。 此方法，虽然步骤简单，但实话说应试时候能想到还是比较困难的，比较适合的题目大概是探究类，已知一种已经证明的，通过变换证明另一种相关的。有一个台阶来过渡。冲孔板复合网